Until recently, the two were synonyms, however, now their meanings diverged a little.
Героизм is real heroic behavior or act, геройство is showing off. The latter may also be used ironically.
Compare:
Я уверен, что капитан Николай Гастелло проявил героизм, направив свой самолет (когда был подбит) в колонну немецких танков. [Мозаика войны (2004) // «Наш современник», 2004.02.15]
Советский солдат умел смотреть в глаза смертельной опасности, проявляя боевую доблесть и героизм. [Подвиг солдата и лесовода (2004) // «Лесное хозяйство», 2004.02.17]
and
Так что они далеко не всегда погибали. Геройство лишнее у нас не поощрялось. Так и произошло с моим двоюродным дедом, братом моего деда. [Даниил Гранин. Зубр (1987)]
Сбивая ногтем пепел с цигарки, Кошевой сказал: ― Знаю я об твоих геройствах, слыхал. Много ты наших бойцов загубил, через это и не могу легко на тебя глядеть… [М. А. Шолохов. Тихий Дон. Книга четвёртая (1928-1940)]