1.The thing or idea following the expression не то что... (а) can be compared to something 'stronger':
Он от этого не то что расстроился [это можно было предположить или это
само собой разумеется, но слишком мягко сказано], а (даже) впал в
депрессию.
A similar type of comparison can be found in this classical example (from Lermontov's poem):
Да, были люди наше время - не то что нынешнее племя: богатыри - не вы!
2.The expression не то чтобы... (а/но) can be used in the opposite case - to soften the literal sense of the words said just after that expression:
Он от этого не то чтобы впал в депрессию [это было бы слишком сильно
сказано], а/но был всерьёз расстроен.
The second of your 2 examples is correct—but it would sound more natural with a instead of но.