Зав - сокращение от заведующий.
Завцеха - заведующий цехом. Неправильный падеж (правильно "завцехом") - следствие низкого образовательного уровня персонажа. Слово "завцеха" образовано по образцу "замдиректора" (заместитель директора).
Цех - "производственное помещение или отдельное сооружение, оснащённое станками, другим оборудованием; производственное подразделение заводов и фабрик, выполняющее определённую функцию или выпускающее определённую категорию продукции, реже — небольшое самостоятельное производственное предприятие."
So, завцеха is a head of a factory department. In this case, it is a "fifth sewing factory" where Zina works. In most cases, this position at garment factory is called начальник цеха, but заведующий цехом is also used occasionally.