Последствие is a thing or event that starts/happens at some point in time.
Я [не] думаю|беспокоюсь о последствиях - I [don't] think|care about what can happen [because of it].
Курение приводит к негативным последствиям: одышке и т.д. - Smoking has negative consequences like wheeze etc.
Дождь вызвал последствия в виде наводнения - Rain caused the flood.
Следствие (in sense of effect, not investigation) is an abstract thing, which is true since its cause is true. Synonyms are вывод, заключение.
Теорема имеет следующие следствия (not последствия) - From the theorem you can draw the following corollaries.
Следствия, которые мы можем вывести из этих фактов, таковы... - From the facts we can conclude that ...
But in some set phrases (Следствием ... является ...) it is used instead of последствие.
Следствием дождя явилось наводнение. - The flood came as a consequence of the rain.
Следствием курения являются заболевания легких - Lung diseases are caused by smoking.
You can use последствие here as well and it will sound only a little unusual.