One of my teachers once said that a noun in a sentence is always in a certain grammatical case and always has a certain role - the subject or an object. In other words, no noun can be in two different grammatical cases at the same time and play a dual role.
Your teachers are right.
Your examples does not prove, that one word can be used at dual function.
Его мнение о тебе неважно и к тому же можно исправить.
You think, that [к тому же можно исправить] is 100% about [его мнение], but this is not so.
In this case you just personally just mean it, but it does not follow from this pattern.
When you use it in just a chat - that's fine, but imagine, that someone would use this pattern in legal document, in papper agreement which has legal power. In this case, there are many options what exaclty you've ment as object in the second sentence.
For example, in the court you might say, that you've ment the following.
Его мнение о тебе неважно и к тому же всё можно исправить.
So, there is no rule, that if object is absent in the second part, then subject from the first part is meant.
Of course most people will think and understan, that you've ment [его мнение] as object, but it is not coming by rule.
The same effect is used in Japanese language.
You use kanji 一 for 1 and that goes everything all right.
But in legal documents they use kanji 壱 in order to guaranty 100% sure of what exactly was ment.
To be 100% sure from legal point in your case you have to say object excplicitly.
Его мнение о тебе неважно и к тому же его мнение можно исправить.
Его мнение о тебе неважно и к тому же такое мнение можно исправить.
Его мнение о тебе неважно и к тому же это мнение можно исправить.
If you do not put object explicitly by omtting the object you create field for assumtions.
Его мнение о тебе неважно и к тому же мужика можно исправить.
Его мнение о тебе неважно и к тому же всё можно исправить.
Его мнение о тебе неважно и к тому же стол можно исправить.
Его мнение о тебе неважно и к тому же документы можно исправить.
etc.
That means, that you can not say that [Его мнение] works in nominative and in accusative at the same time, because the second option is just omitted, but in full form object is availabe at the place.
The subject from the first part does not work in the second part.
It is just used for your imagination to guess what the omitted object is.
The more you ommit, the more there is possibility to misunderstand what you've ment.
Остальное неважно и можно выяснить потом.
Остальное неважно и отношения можно выяснить потом.
Остальное неважно и дела можно выяснить потом.
Остальное неважно и ответ можно выяснить потом.
Остальное неважно и его мотивы можно выяснить потом.
etc.
Остальное неважно и можно забыть.
Остальное неважно и об отпуске можно забыть.
Остальное неважно и об обиде можно забыть.
Остальное неважно и о его измене можно забыть.
Остальное неважно и о деньгах можно забыть.
Остальное неважно и о должности можно забыть.
etc.
Пока ты любишь меня, все остальное неважно и можно пережить.
Пока ты любишь меня, все остальное неважно и развод можно пережить.
Пока ты любишь меня, все остальное неважно и пожар можно пережить.
Пока ты любишь меня, все остальное неважно и потерю можно пережить.
Пока ты любишь меня, все остальное неважно и этот дурдом можно пережить.
etc.
As you see, there is no 100% guaranty that the last part striclty uses the subject from the previous part, but of cource, people will understand what you've ment.
Summary
- In 4 examples of yours you can not say, that subject works as object.
- In fact, in every last sentence object is omitted (there is no object) and it is impossible to say with 100% guaranty what object was ment by the author of the text.
Every option would be just a guess.
- In common like that is not a problem.
For legal text or for some serious buisiness or diplomatic letter that can be a problem.