Mitsuko, you seem to have developed the talent of stumbling upon 'false quotes' (remember your Bismark question?)
Disclaimer: I realize that this is not an answer to the question about the plural form of погода. Might add something on this later on. I just find it quite interesting that this rather popular citation from Chekhov cannot actually be found in any of his works.
"Хорошие погоды нынче стоят! То ли чаю выпить хочется, то ли удавиться."
Фразой из пьесы «Дядя Ваня» до сих пор подписывают фотографии в
соцсетях, но в измененном виде. Ее превратили в предложение, где автор
якобы говорит о том, что день прекрасный, и можно или выпить кружку
чая, или повеситься.
Такой цитаты у Чехова нет, зато в пьесе один из
героев в диалоге говорит: «В такую погоду хорошо повеситься».
From "Дядя Ваня":
…
Войницкий. Я молчу. Молчу и извиняюсь.
Пауза.
Елена Андреевна. А хорошая сегодня погода... Не жарко...
Пауза.
Войницкий. В такую погоду хорошо повеситься...
Edit:
As to "appears weird to me" - it does not sound particularly weird for a Russian ear. As @YellowSky mentions in the very first sentence, this can quite naturally be understood as the weather observed for a period of several days.
After all people do say "сегодня хорошая погода, а вчера была плохая погода", so here we go - хорошие погоды нынче стоят..
But people don't speak like this these days other than to make a bit of a joke (actually, I use погоды from time to time myself and I have no idea where I picked this up. I think this was long before I had read or seen "The 12 chairs" but that's impossible to verify anyway).