Во время means "during something":
Во время войны (= "during the war") Россия жила по сухому закону. [Даниил Гранин. Зубр (1987)]
Впервые эта служба была совершена всенародно во время севастопольской осады (= "during the siege of Sevastopol"). [митрополит Антоний (Блум). Страстная седмица (1980)]
Во времена means "in the times of something":
Так, например, конкурс красоты во времена Париса (= "in the times of Paris") закончился Троянской войной. [М. В. Мусийчук. О сходстве приемов остроумия и механизмов построения парадоксальных задач // «Вопросы психологии», 2003]
Во времена Петра I (= "in the times of Peter I"), открывшего крупные полотняные мануфактуры, российские товары из льна охотно покупали купцы из Европы. [Светлана Чечилова. Вещь в себе // «Здоровье», 1999.03.15]
Во время is used with the processes, periods or epochs; во времена is used with the hallmarks of processes or epochs.
Like in English, you can use во времена instead of во время if the period you're talking about is notable. Во время холодной войны ("during the Cold War") and во времена холодной войны ("in the times of the Cold War") are both OK. The Cold War was both a period and a hallmark of its epoch.
*Во время Пушкина and *во время Александра Второго can be sometimes used in colloquial speech but this would be poor style. Pushkin and Alexander II are hallmarks of their epochs, not the epochs themselves.
The same is in English: "during Alexander II" does not make sense, but "in the times of Alexander II" or "during Alexander II's reign" do.