Well, that question is not a simple one, and there are no general rules of usage that we can suggest, so let's concentrate on those particular examples. Both prepositions are possible in all three phrases, moreover with день рождения, you can use the prepositional case as well as the accusative.
Now let's consider them one by one.
- на следующий день
На следующий день его положили в больницу. The next day he was hospitalized.
И, возможно, через год, в следующий День города, мы будем праздновать уже другую дату. And perhaps in a year, we will celebrate the next anniversary.
Here we're specifying the day. В следующий день Победы, в следующий день рождения, etc.
- в этот день
В парке в этот день было мало посетителей. There were few people in the park on this particilar day.
Начало занятий попало /запланировано именно на этот день. The beginning of the school year fell on/was set for this particular day. After some verbs meaning plans and intentions
3)на день рождения.
Моего сына на день рождения пригласили. My son was invited to a birthday party.
Куда? Accusative.
На дне рождения было много людей. There were a lot of people at the birthday party. Где? Prepositional
На день рождения года три назад Михаил подарил имениннику фотоаппарат. В день рождения Давида, мама купила ему книгу.В день рождения Лиза принесла Гришке подарок.
When we talk about presents, both prepositions work — perhaps with a slight difference in meaning (на indicating the purpose of the gift, в the day), but you can't go wrong using either one.