Следующий means "next". This is literally the following day, week, year and so on:
Это отражается на работоспособности на следующий день и на жизненном тонусе в целом.
На следующий день я повстречал Шлиппенбаха возле гонорарной кассы.
Так что я даже будучи командиром, домой все равно на следующий год попаду.
Ближайший means "closest".
In the singular, it's usually used in the sense of "closest available", "nearest available":
Ближайший день, на который у них были билеты, наступал ровно через неделю, а именно 30 декабря.
Договариваемся на какой-то ближайший день и ездим за город, в один и тот же мотель.
, although it can mean "next" too, especially with larger periods like week, month, or year:
- Он весь ближайший месяц будет выходить в ночную смену, а мы с девочками будем работать только днем
In the sentence above, you can just replace it with следующий.
In the plural, it means "coming", like in "in the coming days":
Вешняков высказал мнение, что ситуация в крае будет разрешена в ближайшие дни.
Я взял телефон её мужа и обещал связаться с ним в ближайшие дни