Understanding "бы"

Question

The question might be too broad, anyway:

1. Which use cases (phrases) are there for бы besides when it has this kind of subjunctive meaning coming with a verb ending in -л / -ла / -ло / -ли (see below)?

   • For instance: как бы, почему бы и нет

_2. What function does бы have, i. e. does it always make something "unreal" (subjunctive)?

• For instance: What's the difference between saying
  • почему нет and
  • почему бы и нет?

What I mentioned in 1. (..coming with a verb..) are the following use cases

бы
1. употребляется для образования сослагательного наклонения
1) предположительной возможности
кто бы это мог быть? — who could / might that be?
2) вежливого пожелания, совета, просьбы
было бы очень приятно вас видеть — it would be very nice to see you

2. (+ ни) употребляется в составе неопределённых местоимений и союзов
кто бы ни пришёл — whoever comes
что бы из этого ни вышло — whatever comes of it
что бы ни случилось — whatever happens
_{Ref: D. I. Yermolovich, T. M. Krasavina}

Answer 1

Почему нет? may mean why (something) is missing?, or (another meaning) what objections do you have?:

-- У нас нет воды.
-- Почему нет?
-- Авария - труба лопнула.

-- Ты пойдешь в театр?
-- Нет.
-- Почему нет?
-- Очень плохо себя чувствую.

Почему бы и нет? has exactly the same meaning as why not?. It is not for asking about objections, it's an invitation to look at the alternative solutions.

I would say that бы is a word for possibilities and alternatives. This also includes polite forms - by using бы you allow other person either to agree with you (accept your proposal) or to make own decision. Without бы it may sound like you are forcing other person to accept what you want.

As for other examples of using бы, here is what Большой толковый словарь proposes:

БЫ; Б

1. Указывает на условно-предположительную возможность действия. Мог бы полюбить. На твоём месте поступил бы иначе. Будто бы твой. Были бы друзья - нашёл бы куда пойти. Если б не ты - мне не жить.
2. Указывает на желательность или долженствование действия. Поохотиться бы по-настоящему! Чайку бы сейчас! Потише бы! Ей бы большую семью иметь. Были бы все здоровые. Покрапал бы дождичек! Ты бы хоть позвонил!
3. Указывает на вежливо-предупредительное пожелание кому-л., совет, предложение. Ты бы прилёг. Сходить бы тебе к врачу. Может, поговорил бы с начальством?
4. (обычно с отриц.). Указывает на опасение чего-л. Не опоздать бы. Не кусать бы потом локти. Лишь бы не дурак. Туфли любые, лишь бы не белые.
5. (в придат. предл.). Указывает на обусловленность действия. Не было бы счастья, да несчастье помогло (Погов.).
6. (в составе сложных союзов, частиц и нареч.). Указывает на различные оттенки условности, предположительности, желаемости действия. Будто бы, если бы, как бы, хоть бы, хоть бы и так, хоть бы хны, хоть бы что, ещё бы, во что бы то ни стало и т.п.

Answer 2

"Бы" is pretty close to "would". Я бы сказал = I would say.