1. The size of a circle can be defined through it's diameter.
Your translation of 'circle' example is quite correct. Define here is a mathematical term and it translates by using Russian mathematical terms определить and выразить:
Размер круга можно определить через его диаметр.
Размер круга может быть выражен через его диаметра.
As for other two examples - I beleive there may be different translations depending on what is meant:
2. Some people define themselves through their job.
If 'defines' describes the phrases like 'Me - is my work' or 'Me - is who my wife is', then I think ассоциировать may work here:
Некоторые люди ассоциируют себя со своей работой (или должностью).
For instance, here is a citation from psychological site:
Например, если мы привыкли ассоциировать себя с нашим положением на работе, с нашей должностью или положением в обществе, то любая угроза – мнимая или реальная, - порождает тревогу в нашем сердце. Если мы привыкли ассоциировать себя с семьей, то любая угроза нашему семейному положению, нашей сути, вызывает у нас неуправляемую тревогу.
3. He defines himself through his wife.
However it is not easy to just say "Он ассоциирует себя с женой" - this sounds like "He thinks that he is his wife" (in other words - he is crazy). I think here we need to say what in his wife is important to him. If it is her success (in business or in life) then:
Он ассоциирует себя с успехом жены.
If it is her beauty then maybe самоутверждается is better choice here:
Он самоутверждается с помощью красивой жены.