Though it's perfectly valid to call women grammatically masculine names, the opposite is quite peculiar (see this answer of mine).
To sound neutral, the names of professions which lack gramatically masculine forms, are replaced by the synonyms, even if they are bulky:
- Помощник воспитателя instead of нянечка (in a kindergarten)
- Санитар instead of нянечка (in a hospital)
- Медицинский брат instead of медицинская сестра
- Артист балета instead of балерина
Sidorenko in Теоретические и практические материалы по морфологии современного русского языка writes:
Для называния лиц мужского пола, выполняющих соответствующую работу, иногда используются описательные обороты типа артист (солист) балета, переписчик на машинке. Могут быть использованы также новые слова с изменением основы: дояр от доярка, уборщик от уборщица)
For a male babysitter in a kindergarten you can use воспитатель, младший воспитатель or помощник воспитателя.
For a visiting male babysitter, you can use a loanword бебиситтер (which unequivocally means a visiting babysitter)