Запятая перед и это увеличивает нужна: она разделяет части сложносочинённого предложения.
Если текст задумывается как состоящий из трех предложений:
С одной стороны, она может означать, что у каждой семьи свои определенные проблемы.
И возможно, что они неразрешимы без распада семьи, который был невозможен в те времена.
И это увеличивает несчастье, которое копится, пока вся эта масса проблем не приведет к трагическому исходу.
то пунктуация должна быть такая:
«С одной стороны, она может означать, что у каждой семьи свои определенные проблемы, и возможно, что они неразрешимы без распада семьи, который был невозможен в те времена, и это увеличивает несчастье, которое копится, пока вся эта масса проблем не приведет к трагическому исходу».
При этом возникает громоздкое сложносочинённое предложение, состоящее из трёх последовательных предложений, разделённых союзами «и».
- Если текст задумывается как состоящий из двух предложений:
С одной стороны, она может означать, что у каждой семьи свои определенные проблемы и, возможно, что они неразрешимы без распада семьи, который был невозможен в те времена.
И это увеличивает несчастье, которое копится, пока вся эта масса проблем не приведет к трагическому исходу.
то пунктуация должна быть такая:
«С одной стороны, она может означать, что у каждой семьи свои определенные проблемы и, возможно, что они неразрешимы без распада семьи, который был невозможен в те времена, -- и это увеличивает несчастье, которое копится, пока вся эта масса проблем не приведет к трагическому исходу».
Здесь запятая перед и возможно не нужна. Хотя предложение что у каждой семьи свои определенные проблемы и, возможно, что они неразрешимы без распада семьи -- сложносочинённое, оно является подчинённым в более развернутом сложноподчинённом предложении. В этом случае простые предложения, составляющие такое сложносочинённое предложение, запятой не разделяются. А слово возможно, как вводное, должно быть выделено запятыми.
PS Сочетание настоящего и прошедшего времени в одном предложении и нагромождение подчинений делают и без того негладкий синтаксис чрезвычайно неудобочитаемым. Если есть такая возможность, хорошо было бы разбить этот текст, по крайней мере, на три предложения.
PPS Я бы посоветовал вам обратить специальное внимание на конструкцию возможно, неразрешимы без распада, который был невозможен.