Можно я попью чая?
What part of speech here is "можно"? Also, if possible, can you parse this sentence, please?
The comprehensive edition Русская грамматика by the Russian Academy of Sciences (Наука, 1980) http://lukashevichus.info/knigi/russk_gramm_sl_shvedova_1.pdf
says (p. 703):
Предикативы — это слова с модальными значениями долженствования, необходимости, возможности. Это — самостоятельные слова, не соотносительные с качественными наречиями и краткими прилагательными; например, должно, можно, надо, нельзя, нужно, устар. надобно. По своим синтаксическим функциям эти слова совпадают с предикативами в системе существительных [лень, недосуг]...
So, it's different from adverb. Unlikely there's an exact English term for предикатив in its defined meaning; here's a page using the term predicative adverb, however along with the words like надо, defined above, typical adverbs (like холодно) are included which are out of that definition. http://russianlearn.com/grammar/category/predicative_adverbs
Another version of literally parsing the sentence (as opposed to proper translation with 'May I...'), in an attempt to replace можно with something as impersonal: Is it OK if I have some tea?
"Можно" is наречие, i.e. adverb.
"Можно я попью чая?" may be translated as "Let me have some tea." or "May I have some tea?"
"Можно" is derived from "мочь" (to be able to), "могу" (I am able to, I can) and generally stands for posessing some permission, or ability, or affordance.
Существует несколько вариантов названия для слов можно
и нельзя
как частей речи.
Например:
В данном случае, я считаю наиболее подходящим вариантом наречие в роли сказуемого.
Таким образом, исходное предложение может быть разобрано как:
я - подлежащее
можно попью - сказуемое
чай - дополнение
In English my answer is much shorter.
This is an adverb as predicate. In this sentence it is a part of complex predicate можно попью
.