These verbs in Russian are used with different cases, in different word collocations and in different speech styles.
- Отказываться-Отказаться + verb: refuse to do smth
Он отказался убираться в квартире.
- Отказываться-Отказаться от + noun (Genitive case): to refuse smth, to turn smth down, to deny
Алексей отказался от сотрудничества.
- Отказывать-отказать + noun (Dative case) + в (Prepositional case): refuse smth to smb
Врач отказал ему в лечении.
- Отвергать-отвергнуть + noun (Accusative case, smth or smb): reject сompletely, bookish, formal style.
Ты отверг меня!
Президент отверг идею проведения новых реформ.
- Отклонять-отклонить (Accusative case, smth): decline, formal style, normally used in the collocations: "отклонить предложение", "отклонить жалобу", "отклонить рукопись", "отклонить статью", etc.
К сожалению, наша фирма вынуждена отклонить предложение вашей компании по ряду причин.
- Отрицать (Accusative case, smth): deny
Подсудимый отрицает свою виновность.
I'm going to translate your sentences:
Я отклонил его предложение: you have to use "отклонил" here because it's a collocation in Russian: "отклонить предложение". You can also use "отверг", but it sounds quite agressive.
Я отказался говорить с ним: "отказаться" is the only verb you can use with an infinitive.
Я отверг его предположение: collocation "отвергнуть предположение".
Я отказался от заявления: collocation.
Моя рукопись была отклонена.
Он отказал мне.
Best, Yulia Amlinskaya, Russian language teacher.