According to many dictionaries this form can be applied to animate nouns that have masculine or common gender or to plural personal pronouns. Here's an article from Малый академический словарь (articles for other numbers are almost the same):
трое
трои́х, числ. собир.
Три (счетного значения не имеет, употребляется с существительными мужского или общего рода, обозначающими лиц, а также с существительными, имеющими только мн. ч., и с личными местоимениями во мн. ч.).
Три девушки и трое юношей. Трое суток. Вам троим. У них троих.
As you can see - the first example shows that you cannot say трое девушек (or пятеро женщин): only три девушки, пять женщин.
Трое суток is (I believe) an example of common gender noun. Other dictionaries call this example "существительные не имеющие формы единственного числа" (nouns that do not have singular form). Other examples of such nouns are очки, часы, штаны, брюки, etc.
Вам троим. У них троих. is an example of usage the words двое, трое, etc. with personal pronouns.
- Are these sentences grammatically and semantically correct?
As you can see, the пятеро женщин is not correct. As far as I know there is no big difference between три мужчины and трое мужчин.
On the other hand you cannot say три суток, only трое суток is allowed. Same for "нас три" is not correct - only "нас трое" is correct.
- What's the difference in meaning between using a number and the animate plural?
There is no difference in meaning.
- When can the animate plural be used? Is it always when it designates an animate being?
No, it doesn't always mean the animate. Ножницы and сутки are not animate.